2nde math

ABC est un triangle equilateral de côté d. [AH] est la hauteur issue de A.
1. Démontrer que: cos 30°= racine de 3 divisé par 2 ; tan 30° =1 divisé par racine de 3

Le triangle ABC est équilatéral, donc tous ses angles font 60° car la somme de tous les angles d'un triangle font 180° et que les angles d'un triangle équilatéral sont égaux.
[AH] est la hauteur issue de A, donc l'angle AHB est droit. Donc le triangle ABH est un triangle rectangle.
De plus, comme le triangle est équilatéral, la hauteur est aussi la bissectrice. Donc l'angle BÂH est égale à la moitié de l'angle BÂC : BÂH = BÂC / 2.
Et comme BÂC = 60°, BAH = 30°.
D'où, calculer cos 30 ° revient à calculer cos BÂH.
On sait que le cosinus, c'est le côté opposé divisé par l'hypoténuse.
C'est pourquoi, cos BÂH = AH / AB, avec AB = d d'où cos BÂH = AH / d.
Comme le triangle AHB est rectangle, on utilise le théorême de Pythagore pour trouver AH (on sait que BH = BC / 2 c'est-à-dire d/2) :

BA^2 = AH^2 + HB^2
d^2 = AH^2 + (d/2)^2
AH^2 = d^2 - (d/2)^2
AH^2 = d^2 - d^2/4
AH^2 = 3d^2/4
AH = V(3d^2/4)
AH = V(3d^2)/V(4)
AH = dV(3)/2

On en revient au cosinus :

cos BÂH = AH / d
cos BÂH = (dV(3)/2)/d
cos BÂH = dV(3)/2d
cos BÂH = V(3)/2

Et voilà pour la première question.