[Algèbre linéaire - prépa] Sous-espaces.

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27/12/09 à 15:06

Bonjour.
J'ai l'énoncé suivant:

Soit l'espace vectoriel E:= R[X]. Un polynôme P appartenant à E est di pair si P(X)=P(-X) et impair si P(X) = -P(-X).
Montrer que l'ensemble Eo des polynômes pairs et l'ensemble E1 des polynômes impairs sont des sous espaces vectoriels de E.
Ensuite montrer que la somme Eo+E1 est directe et que Eo+E1 = E.

J'ai la première partie (Eo et E1 sont des sev: ils comprennent tous les deux le polynômes nuls et une combili d'un polynôme pair/impair reste un polynôme pair/impair.)
et le début de la deuxième (un polynôme autre que le polynôme nul ne peut jamais être à la fois pair et impair donc le seul élément qu'E1 et Eo ont en commun et le polynôme nul)
maos la troisième proposition me semble fausse puisque R[X] est l'ensemble de tous les polynômes et qu'il existe des polynômes ni pairs ni impairs, pour moi, Eo+E1 != E.

Des avis, des suggestions, des commentaires?
Merci d'avance.

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27/12/2009 à 15:19

Han, c'est super classique =P


P(X) = 1/2 (P(X) + P(-X)) + 1/2 (P(X) - P(-X)), ca t'éclaire =P ?

D'ailleurs, c'est comme ca qu'on démontre que toute fonction est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, et que toute matrice est la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique

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