[Maths] 1ère S .

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T0iplusm0i [Maths] 1ère S . 14 21/02/09 à 23:18

Bonsoir j'ai un exercice de mathématique à faire, et je voudrais savoir si c'est juste, mais je suis quasiment sure que non =S.

Je mets l'énoncé :
Un stade olympique a la forme d'un rectangle avec deux demi-cercles aux extrémités. La longueur de la piste intérieure est imposée et mesure 400m. Quelles dimensions doit-on donner au stade pour que la surface rectangulaire hachurée soit maximale ?

Soit x la longueur de la surface hachurée et "r" le rayon des demi-cercles (multiplié par 2 il donne la largeur de la surface hachurée).

2.pi.r + 2x = 400
S = 2r . x (puisque la largeur est de 2 fois le rayon)

à partir de là j'isole r et je trouve r = (200 - x) / pi
Je remplace r dans la formule de la surface : S = 2 ( (200-x)/pi ) x
S = ( 400x - 2x² ) / pi
Je calcule la dérivée :
f' (x) = ( 400 - 2 . 2x ) / pi
f' (x) = (400 - 4x ) / pi
Je la factorise :
f' (x) = -4 (x - 100) / pi

Je fais un tableau de signe en mettant -4 toujours négatif, "x - 100" négatif pour ]- inf, 100] et positif pour [100, + inf[, "pi" toujours positif.
Et je trouve
f'(x) > 0 pour x appartient à ]- inf, 100[
f'(x) = 0 pour x = 100
f'(x) < 0 pour x appartient à ]100, + inf[

f'(x) s'annule et change de signe pour x = 100 donc f est maximale lorsque x = 100
La longueur x est de 100 m. Pour la largeur :
r = (200 - x) / pi
r = (200 - 100) / pi
r = 100/ pi
La largeur étant égale au double du rayon, elle est égale à 2 x (100/pi) soit 200/pi m.

Voilà je pense que c'est faux mais bon :s.


Paul_ 
[Maths] 1ère S . 1/14 21/02/2009 à 23:41
Bah, si c'est faux, j'vois pas où ...


Enfin, si, juste un point de rigueur, à la fin, f' s'annule en changeant de signe implique uniquement que f est extremale, tu sais pas si c'est un minimum ou un maximum. Mais un tableau de variations est une justification suffisante =).

Ou tu penses que t'as faux toi ?
Ancien membre 
[Maths] 1ère S . 2/14 21/02/2009 à 23:42
En gros il faut donner aux cotés du rectangle les dimensions telles que la surface (l'aire) soit maximal?? C'est bien de l'aire du rectangle dont on parle ?
C'est bien ça et on sait que l'addition circonférence des deux demis cercles + les 2 longueurs du rectangle = 400 mètres?

Si tu m'as compris et si je n'ai pas tort je vais réfléchir à ça et voir si tu as eu bon...
Mais j'ai pas le dessin sous les yeux. Et ils parlent de "longueur" d'une surface ce qui m'a l'air bizarre. On parle de superficie pas de longueur pour une aire....
Paul_ 
[Maths] 1ère S . 3/14 21/02/2009 à 23:44
Light Phazer a écrit :
En gros il faut donner aux cotés du rectangle les dimensions telles que la surface (l'aire) soit maximal?? C'est bien de l'aire du rectangle dont on parle ?
C'est bien ça et on sait que l'addition circonférence des deux demis cercles + les 2 longueurs du rectangle = 400 mètres?

Si tu m'as compris et si je n'ai pas tort je vais réfléchir à ça et voir si tu as eu bon...
Mais j'ai pas le dessin sous les yeux. Et ils parlent de "longueur" d'une surface ce qui m'a l'air bizarre. On parle de superficie pas de longueur pour une aire....


Y a pas à réfléchir ... Y suffit de lire sa démonstration. C'est clair, rigoureux et propre.
MissDyke 
[Maths] 1ère S . 4/14 21/02/2009 à 23:44
La hasard fait bien les choses : quand j'étais en 1èreS j'ai fait exactement le même exercice
Il me semble que c'est la bonne réponse
De toute façon on ne dirait pas que ton raisonnement comporte d'erreurs
T0iplusm0i 
[Maths] 1ère S . 5/14 21/02/2009 à 23:46
Hael tu me rassures. Embarassed
Ben Light Phazer quand ils disent "longueur de la piste intérieure = 400m" ils parlent bien de périmetre ? ça me parrait logique sinon c'est pas possible. Et je t'envoie le lien de la figure par Mp.
T0iplusm0i 
[Maths] 1ère S . 6/14 21/02/2009 à 23:49
MissDyke a écrit :
La hasard fait bien les choses : quand j'étais en 1èreS j'ai fait exactement le même exercice
Il me semble que c'est la bonne réponse
De toute façon on ne dirait pas que ton raisonnement comporte d'erreurs
Si tu penses que c'est la bonne réponse, ça me rassure encore. Embarassed

Hael en fait c'que j'trouve bizarre c'est que ça donne pas les dimensions du stade total, mais je vois pas comment on peut les donner sachant qu'on a pas la largeur de la piste autour (la piste pour courrir).
Paul_ 
[Maths] 1ère S . 7/14 21/02/2009 à 23:50
T0iplusm0i a écrit :
MissDyke a écrit :
La hasard fait bien les choses : quand j'étais en 1èreS j'ai fait exactement le même exercice
Il me semble que c'est la bonne réponse
De toute façon on ne dirait pas que ton raisonnement comporte d'erreurs
Si tu penses que c'est la bonne réponse, ça me rassure encore.

Hael en fait c'que j'trouve bizarre c'est que ça donne pas les dimensions du stade total, mais je vois pas comment on peut les donner sachant qu'on a pas la largeur de la piste autour (la piste pour courrir).

Bah si, c'est 400 mètres ...
Ancien membre 
[Maths] 1ère S . 8/14 21/02/2009 à 23:51
Non Hael a raison, ya pas besoin de voir quoi que ce soit, suffit de voir le raisonnement . Tu as bien dérivé la fonction. Enfin tout est bon quoi.
T0iplusm0i 
[Maths] 1ère S . 9/14 21/02/2009 à 23:51
Petite précision, à partir de "soit x la longueur ..." c'est moi ça c'est pas dans l'énoncé.
MissDyke 
[Maths] 1ère S . 10/14 21/02/2009 à 23:53
Désolée j'ai relu mon message, mon ordi bug par moments : j'avais marquer : NE comporte PAS d'erreurs
T0iplusm0i 
[Maths] 1ère S . 11/14 21/02/2009 à 23:54
Merci justement j'étais pas sûre que ma dérivée soit bonne.
Merci beaucoup Faire la biz
Ancien membre 
[Maths] 1ère S . 12/14 21/02/2009 à 23:54
En plus 100 mètres la circonférence des deux demis cercles + la longueur du rectangle ça nous fait 2x100 + 2x100 = 400. Il me semble que c'est construit comme ça à peu de choses près.
T0iplusm0i 
[Maths] 1ère S . 13/14 21/02/2009 à 23:56
Ouais en gros ça me fait un truc de 100m sur 200/pi ça fait 63 un truc comme ça, j'pense que ça colle. Merci pour les confirmations de sportif. ^^
Ancien membre 
[Maths] 1ère S . 14/14 22/02/2009 à 00:02
ça fait longtemps que j'ai pas mis les pieds sur un stade Rolling Eyes
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