exercice sur les dérivées

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tibotin exercice sur les dérivées 8 03/01/07 à 21:40

Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit.Sa capacité maximale de production est de 20 tonnes.Le cout,en millier d'euros,d'une production de x tonnes est donné par:
C(x)= x^3-30x^2+300x
1.étudier les variations de C sur [0;20].
Tracer la représentation graphique de la courbe c dans un repère orthogonal(unité ;1cm sur l'axe des abscisses pour 1 unité, et 1 cm sur l'axe des ordonnée pour 200euros).
2.En économie on appel cout moyen Cm le cout de fabriquation d'une tonne de produit.
Donc Cm(x)=C(x)/x
Déterminer et étudier la fonction Cm sur l'intervalle [0;20].
En déduire le cout moyen minimum.
3.Après une étude de marché, l'entreprise décide de vendre son produit 84 milliers d'euros la tonne.Le bénéfice réalisé par l'entreprise est donc défini par la fonction B telle que B(x)=84x-C(x)
-Quelle doit être la production x de l'entreprise pour quelle réalise un bénéfice maximum?
-Est-ce la même valeur qui minimise le cout moyen?

j'ai des problèmes surtout pour la question 3. merci d'avance

Chaud Son  
exercice sur les dérivées 1/8 03/01/2007 à 21:50
oauis mais faut tout faire ou juste la question 3?
Chaud Son  
exercice sur les dérivées 2/8 03/01/2007 à 21:53
Arf c'est pas dur, mais dsl j'ai la totale flemme.. j'espère que d'autres gens pourront te venir en aide Mr. Green
Ancien membre 
exercice sur les dérivées 3/8 03/01/2007 à 22:19
1) C'(x)=3x^2-60x+300
la racine du polinome C' est 10, donc C'(x)=0 pour x=10
la fonction C' est strictement décroissante sur ]-infini(je sais pas comment faire alors je marque comme sa;10] et strictement croissante sur [10;+infini[

2) Cm(x)=C(x)/x=(x^3-30x^2+300x)/x
la fonction Cm est strictement décroissante sur [0;20]
le minimum de la fonction sur [0;20] est 100 atteint en 20
voilàmais c'est pas possible ce que je trouve j'ai du me trompé ais il est 22H18 et j'ai plus envie de revérifier d'autres plsu intellignet que moi seront dans la mesure de t'aider

bonne nuit
3)B(x)=84x-C(x)=84x-(x^3-30x^2+300x)=84x-x^3+30x^2-300x=x^3+30x^2-216x
B'(x)=3x^2+60x-216
x1=-6((racine31)+5) et x2=6((racine31)+5)
B est strictement décroissant sur ]-infini;-10] et strictement croissant sur [-10;+infini[
Floflo21 
exercice sur les dérivées 4/8 03/01/2007 à 22:19
1) La fonction C est dérivable sur [0;20] et on a C'(x)=3x²-60x+300.
C'(x)=3(x²-20x+100)=3(x-10)² (factorisation évidente).
Donc C'(x)>ou=0 pour tout x compris entre 0 et 20 et C'(x)=0 pour x=10.
Donc la fonction C est croissante sur [0;20].
Représentation graphique : cf. calculette.

2) Cm(x)=C(x)/x=x²-30x+300.
La fonction Cm est dérivable sur [0;20] et on a Cm'(x)=2x-30.
Donc Cm'(x) < 0 pour x appartenant à [0;15] et Cm'(x) > 0 pour x appartenant à [15;20].
Donc Cm est décroissante sur [0;15] et croissante sur [15;20].
Donc Cm admet un minimum en x=15.
D'où le coût moyen minimum est Cm(15)=15²-30*15+300=75.

3) B(x)=84x-C(x)=-x^3+30x²-216x.
La fonction B est dérivable sur [0;20] et on a B'(x)=-3x²+60x-216.
On étudie le signe de la dérivée et on trouve que B admet un maximum en 15,2915... ce qui n'est pas la même valeur que celle trouvée dans la question 2).

Voilà voilà ^^

Edit : Zut, doublé par lucas, pas grave, mon truc est plus joli (et plus juste surtout ! lol) xD
Ancien membre 
exercice sur les dérivées 5/8 03/01/2007 à 22:28
Floflo21=> oui mais je pense que le crémant m'empêche de réfléchir correctement mais j'ai marqué que c'était faut mais j'ai quand même essayé de faire ce que j'étais dans la mesure d'encore faire Very Happy Verre
tibotin 
exercice sur les dérivées 6/8 03/01/2007 à 22:41
merci
c'est ce que j'avais mais quand je calcule B(15.3) je trouve un résultat négatif et pour B(4.7) aussi ...est-ce normale d'après vous pour une entreprise???
merci
Floflo21 
exercice sur les dérivées 7/8 03/01/2007 à 22:52
Oui on trouve bien les racines 4,7 et 15,3.
Pour x=4,7, on aura B(x) minimal et B(x) négatif, donc déficit de l'entreprise.
Par contre, pour x=15,3, B(x) environ = 137, l'entreprise gagne de l'argent (et c'est la valeur de x pour laquelle elle en gagne le plus)
tibotin 
exercice sur les dérivées 8/8 03/01/2007 à 23:44
dacord
merci beaucoup!!!
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