Gros exo de maths TERM S.. fonction ln =)

Dii2ne

Gros exo de maths TERM S.. fonction ln =)

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23/11/07 à 17:43

Enoncé:

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Soit f la fonction définie sur [0;+oo[ par: f(x)= x^2 ( ln (x) - 1 ) ; si x différent de zéro et f(0)=0.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j) du plan (unité graphique: 2cm).

1) Démontrer que f est dérivable en 0 et déterminer f'(0). Que peut-on dire pour Cf?
2) Etudier la limite de f en +oo. (ça j'ai réussis en +oo la limite est +oo)
3) a) Justifier que f est dérivable sur ]0;+oo[ et déterminer la dérivée f' de f sur ]0;+oo[. (ça aussi j'ai réussis la dérivée ainsi que dire pourquoi f est dérivable; f'(x)= 2x ln (x/e) + x )
b) Etudier les variations de f sur [0;+oo[. (là j'arrive pas à résoudre l'inéquation 2x ln (x/e) + x plus grand que 0)
4) Dresser le tableau de variation de f sur [0;+oo[. (en ayant la question 3)b) c'est simple, mais je l'ai pas:p)
5) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses. (là on a x=0 ce qui est impossible et x=e).
6) Déterminer l'équation réduite y=t(x) de la tangente de Cf au point d'abscisse 1 / e^1/2 (racine carrée de exp quoi!).
7) L'objet de cette question est l'étude de la position relative de Cf et T. Pour cela, on considère la fonction g définie sur ]0;+oo[ par: g(x)= f(x) - t(x).
a) Justifier que g est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g'(x) pour tout x appartenant à ]0;+oo[.
b) Justifier que g' est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g''(x) pour tout x appartenant à ]0;+oo[.
c) Etudier les variations de g' sur ]0;+oo[, calculer g'(0)et en déduire le signe de g' sur ]0;+oo[.
d) Déduire de ce qui précède les variations de g sur ]0;+oo[ puis son signe (on pourra calculer g(1 / e^1/2 (racine carrée de exp quoi!))
e) Conclure.
Tracer la courbe Cf et sa tangente T. (pas trop difficile)
"


Voilà j'espère pas avoir passer au moins 15minutes à tout écrire tout bien pour rien HELP me PLEASE =)
J'ai donc mis mes pistes sur les questions que j'ai réussi ou qu'à moitié à la fin de la question entre parenthèse =)
Merci d'avance =)
(k)

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Dii2ne