Spé Maths : Gauss, mon ami >_>"

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Green litchi Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 10 10/11/07 à 15:08

Bien le bonjour, j'en appelle à vous surdoué(e)s des maths pour résoudre ce TD qui me les brise légèrement en ce début de week-end.
C'est de la spé maths, T°S donc, et on en est encore à l'algèbre n_x

V'la l'énoncé :
Dans ce paragraphe, nous allons nous intéresser à l'équation au + bv = j'ai, où j'ai est le PGCD de a et de b.

1) Supposons trouvée une solution particulière (u0, v0) (>lire u et v indice 0 hein) de l'équation au + bv = g.
Notons (u, v) une autre solution de cette équation et posons a' = a/g et b' = b/g.

a) Justifiez l'égalité a'(u - u0) + b'(v - v0) = 0 puis utilisez le théorème de Gauss pour démontrer qu'il existe un entier relatif k tel que v - v0 = ka'.
Déduisez en finalement que u = u0 - kb' et v = v0 + ka'.

b) Réciproquement, prouvez que si u = u0 - kb’ et v = v0 + ka’ avec k entier relatif, alors au + bv = g.

Cas général

On suppose maintenant que c est un entier quelconque, a et b sont des entiers donnés, a > b > 0.
1)
a) Prouvez que si c n’est pas un multiple du PGCD de a et de b, alors l’équation ax + by = c n’a pas de solution.
b) On suppose que c est un multiple du PGCD de a et de b, soit c = c’g. Résolvez alors l’équation ax + by = c.

Voilà.
En fait, j’ai uniquement fait la première partie de la question 1) du premier exo, et j’ai bloqué sur l’utilisation du théorème de Gauss ; j’ai posté le deuxième exercice pour pas avoir à refaire un autre topic si j’me rends compte que j’y arrive pas.

C’que j’ai trouvé pour la 1), c’est facile mais au cas où ça pourrait vous aider :
1) a)
au + bv = g
au0 + bv0 = g
Donc :
au + bv =au0 + bv0

g est le PGCD de a et b donc ne peut être égal à 0. L’équation précédente correspond donc à :
(au + bv)/g = (au0 + bv0)/g

Equivaut à : (a/g)u + (b/g)v - (a/g)u0 - (b/g)v0 = 0
Equivaut à : (a/g)(u - u0) + (b/g)(v - v0) = 0 a/g = a’ et b/g = b’
Equivaut à : a’(u - u0) + b’(v - v0) = 0

Youpi. La suite, je sèche, bonne chance et merci si vous avez le courage d’essayer ^^"

Ancien membre 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 1/10 10/11/2007 à 15:10
J'ai eu toujours eu une incompréhension totale pour ceux qui font des maths à un niveau elevé. Déjà que moi les additions j'ai du mal...
Floflo21 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 2/10 10/11/2007 à 15:29
Pouêt =)

a'(u - u0) + b'(v - v0) = 0
donc a'(u - u0) = -b'(v - v0) (incroyable)
Magiquement, a' divise a'(u - u0).
Comme a'(u - u0) = -b'(v - v0), on a donc : a' divise -b'(v - v0).
Or a' et b' sont premiers entre eux puisque a'=a/g et b'=b/g (pgcd (a',b')=1).
Donc Gauss nous dit que a' divise -(v - v0) donc (v - v0).
Donc il existe k€Z tel que v - v0 = ka'.

On remplace dans l'équation de départ :
a'(u - u0) + b'ka' = 0,
on divise par a'0 pour le fun,
d'où u = u0 - kb' (joie).
v = v0 + ka' aussi, pas trop violent.

Montrons que si u = u0 - kb’ et v = v0 + ka’ avec k€Z, alors au + bv = g.
au + bv = au0 + bv0 + k(a'b - ab') = g + k(a'b - ab') = g + k(ab/g - ab/g) = g.
Youpi.

Bonne chance pour le cas général x)

Edit : Arf, j'ai pas pu m'empêcher de faire la suite (faut bien s'occuper hein..)

Supposons que c n’est pas un multiple du PGCD de a et de b.
On cherche (x,y) € Z² tel que ax + by = c,
ie. (a'x + b'y)g = c.
g divise (a'x + b'y)g mais pas c.
Vu que ces deux trucs sont égaux, on a un problème (ceci est une mauvaise rédaction).

Supposons maintenant que c est un multiple du PGCD de a et de b, soit c = c’g.
On cherche (x,y) € Z² tel que ax + by = c,
ie. a'x + b'y = c'.
a' et b' sont premiers entre eux, Bézout dit qu'il existe deux entiers qu'on va appeler X et Y tels que a'X + b'Y = 1.
On multiplie ça par c', on note x0 = c'*X, y0 = c'*Y : a'x0 + b'y0 = c' = a'x + b'y.
Comme dans la partie 1 : a'(x-x0) = -b'(y-y0)
a' et b' sont premiers entre eux donc d'après Gauss, a' divise (y-y0), donc il existe k€Z tel que y-y0 = ka'.
On a alors, en remplaçant : x-x0 = -kb'.

Donc l'ensemble des solutions est : S = {(-kb'+x0,ka'+y0), k€Z} = {(-kb/g+x0,ka/g+y0), k€Z}.

Voilà ^.^
Aramis  
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 3/10 10/11/2007 à 15:31
C'est un peu pour ça que j'ai pris spé physique chimie MDR
Ancien membre 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 4/10 10/11/2007 à 15:33
Floflo21 a écrit :
a'(u - u0) + b'(v - v0) = 0
donc a'(u - u0) = -b'(v - v0) (incroyable)
Magiquement, a' divise a'(u - u0).
Comme a'(u - u0) = -b'(v - v0), on a donc : a' divise -b'(v - v0).
Or a' et b' sont premiers entre eux puisque a'=a/g et b'=b/g (pgcd (a',b')=1).
Donc Gauss nous dit que a' divise -(v - v0) donc (v - v0).
Donc il existe k€Z tel que v - v0 = ka'.

On remplace dans l'équation de départ :
a'(u - u0) + b'ka' = 0,
on divise par a'0 pour le fun,
d'où u = u0 - kb' (joie).
v = v0 + ka' aussi, pas trop violent.

Montrons que si u = u0 - kb’ et v = v0 + ka’ avec k€Z, alors au + bv = g.
au + bv = au0 + bv0 + k(a'b - ab') = g + k(a'b - ab') = g + k(ab/g - ab/g) = g.


Putaing, j'ai mal à la tête.


Ancien membre 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 5/10 10/11/2007 à 15:40
oh mais toi aussi tu dois subir ça ?? Je ne peux pas t'aider, on vient de commencer le cours, et à vrai dire j'ai pas complètement compris, mais à part ça...
Green litchi  
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 6/10 10/11/2007 à 18:04
Owi, merci merci Floflo!
Par contre, pour le cas général, j'ai l'impression que tu t'es servi de l'exercice 1. En fait, ce sont deux exercices distincts, enfin ils sont notés comme ce que j'ai écrit dans le livre heing, mais on a un nouvel énoncé avec des nouveaux a et b, d'où le problème de rédaction au début. Désolé si s'tait pas très explicite ><

Bon ben j'vais tenter le cas général et mourir ~
Floflo21 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 7/10 10/11/2007 à 18:38
Non non, je réutilise rien de la première partie à part les notations a'=a/g etc...
Quand je dis que la rédaction est mauvaise c'était juste parceque j'ai marqué "Vu que ces deux trucs sont égaux, on a un problème" et que je te déconseille de marquer ça mot pour mot dans une copie de maths c'est tout ^^
Vouala =)
Ancien membre 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 8/10 10/11/2007 à 18:58
vive les équations diophantiennes ! ^^
Green litchi  
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 9/10 10/11/2007 à 19:04
Awh okay, j'avais pas compris (en même temps, moi et la compréhension...), t'es donc tout simplement un pur Dieu des maths que je vénère \o/
Demain j'essaierai de faire un autre TD, te voilà prévenu au cas où j'y arriverais pas et que t'aies rien à faire de tes dimanches, même si j'ai beaucoup d'chances d'y arriver hein é.è
Floflo21 
Spé Maths : Gauss, mon ami >_>" 10/10 10/11/2007 à 19:07
Green litchi a écrit : t'es donc tout simplement un pur Dieu des maths que je vénère \o/

Ca me plaît bien ^_^
Bonne chance pour l'autre TD Mr. Green
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