DM de maths sur les suites...T'S

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vivelavida DM de maths sur les suites...T'S 4 29/09/07 à 18:41

Coucou!!
alors voilà j'ai 2 exercices à faire en DM, mais je bloque aux premières questions...
pourriez m'expliquer svp??

VOilà les consignes, je vous met que les premières question,celles ou je bloque pour essayer la suite "toute seule", si j'y arrive ^^

Ex1=>
Soit Un= "somme des n à partir de k=0" 1/ ((2k+1)(2k+3))

1) Calculer U0,U1 et U2
Là j'obtiens :
Uo = 1/4
U1 = 19/60
U2 = 25/42
Je ne pense pas avoir juste, car en fait, je ne comprends pas réellement comment est la suite...

2) Etudier la monotonie de (Un)
Comme au dessus, je pense qu'elle est croissante mais je n'arrive pas à le démontrer que je ne la comprends pas vraiment...

EX 2 =>

Soit, pour tout n entier natrurel non nul, la suite (Un) de nombres réels strictement positifs.
Un = n² / (2^n)

A) On pose Vn = U(n+1)/ Un pour tout n non nul

1) Montrer que pour tout n>0 on a : Vn = 1/2 * ((1+(1/n))²
Etudier alors la convergence de (Vn)

Voilà, je vais continuer à chercher, mais si quelqu'un pouvait m'aider ou m'expliquer... svp Rougi
merci d'avance !!

Floflo21 
DM de maths sur les suites...T'S 1/4 29/09/2007 à 20:12
Je note S(k=0..n) la somme de k=0 à n.

Soit Un= S(k=0..n) 1/((2k+1)(2k+3)) = 1/((2*0+1)(2*0+3)) + 1/((2*1+1)(2*1+3)) + ... + 1/((2*n+1)(2*n+3))

U0 = S(k=0..0) 1/((2k+1)(2k+3)) = 1/((2*0+1)(2*0+3)) = 1/3.

U1 = S(k=0..1) 1/((2k+1)(2k+3)) = 1/((2*0+1)(2*0+3)) + 1/((2*1+1)(2*1+3)) = 1/3 + 1/15 = 2/5.

U2 = S(k=0..2) 1/((2k+1)(2k+3)) = 1/((2*0+1)(2*0+3)) + 1/((2*1+1)(2*1+3)) + 1/((2*2+1)(2*2+3)) = 1/3 + 1/15 + 1/35 = 3/7.

Pour étudier la monotonie de la suite, on regarde le signe de Un+1 - Un quelque soit n :

Un+1 - Un = S(k=0..n+1) 1/((2k+1)(2k+3)) - S(k=0..n) 1/((2k+1)(2k+3)) = 1/((2*0+1)(2*0+3)) + 1/((2*1+1)(2*1+3)) + ... + 1/((2*n+1)(2*n+3)) + 1/((2*(n+1)+1)(2*(n+1)+3)) - [1/((2*0+1)(2*0+3)) + 1/((2*1+1)(2*1+3)) + ... + 1/((2*n+1)(2*n+3))]
= 1/((2*(n+1)+1)(2*(n+1)+3)) >= 0.

Donc Un+1 >= Un pour tout n. Donc (Un) est croissante.

^.^
Floflo21 
DM de maths sur les suites...T'S 2/4 29/09/2007 à 20:17
Pour tout n non nul, on pose Un = n²/(2^n) et Vn = Un+1/Un.

Vn = Un+1/Un = [(n+1)²/(2^(n+1))]/[n²/(2^n)]
= [(n+1)²/(2^(n+1))]*[(2^n)/n²]
= (n+1)²/2n²
= (1/2)*[(n+1)/n]²
= (1/2)*(1+1/n)².

Quand n -> infini, 1/n -> 0, donc Vn -> (1/2)*(1+0)² = 1/2.

=)
vivelavida  
DM de maths sur les suites...T'S 3/4 29/09/2007 à 20:31
merci beaucoup !!!!! en fait au lieu de multiplier, j'ai additionner moi -_-' pas douée loool
vivelavida  
DM de maths sur les suites...T'S 4/4 29/09/2007 à 20:32
ah j'avais pas vu que t'avais aussi répondu pour l'autre...
vraiment ,merci!!!
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