Exo spé maths Terminale S

La deuxieme question je cherche pleins de truc mais montrer qu'ils sont congrus, j'y arrive pas, les questions 2 et 3 me posent réellement problème :s

Booonjour ^.^

1)
U_1 = 5*U_0 - 6 = 5*14 - 6 = 64
U_2 = 5*U_1 - 6 = 5*64 - 6 = 314
U_3 = 5*U_2 - 6 = 5*314 - 6 = 1564
U_4 = 5*U_3 - 6 = 5*1564 - 6 = 7814
Pour tout n€N, on peut se douter que les deux derniers chiffres de U_n forment alternativement les nombres 14 et 64.

2)
Soit n€N.
U_(n+2) = 5*(5*U_n - 6) - 6 = 25*U_n - 36.
Or 36 = 0 (mod 4) et 25 = 1 (mod 4), donc U_(n+2) = U_n (mod 4).

Soit k€N.
U_(2k) = U_(2k-2) (mod 4) = ... = U_0 (mod 4) = 14 (mod 4) = 2 (mod 4).
U_(2k+1) = U_(2k-1) (mod 4) = ... = U_1 (mod 4) = 64 (mod 4) = 0 (mod 4).

3)
a-
On montre par récurrence sur n€N la propriété P(n) :
Pour n = 0 : 2*U_0 = 28 = 5^(0+2) + 3. Donc P(0) est vraie.
On suppose maintenant la propriété P(n) vraie (n€N*).
Montrons que P(n+1) est vraie.
2*U_(n+1) = 2*(5*U_n - 6) = 5*(5^(n+2) + 3) - 12 = 5^(n+3) + 15 - 12 = 5^(n+1+2) + 3.
Donc P(n+1) est vraie.
Donc la propriété est vraie pour tout n€N.

b-
Pour tout n€N, on a :
2*U_n = 5^(n+2) + 3 = 25*5^n + 3.
Or 5 = 1 (mod 4), donc 5^n = 1 (mod 4), puis 25*5^n = 25 (mod 4*5) = 25 (mod 100).
D'où 2*U_n = 5^(n+2) + 3 = 28 (mod 100).

4)
Pour tout n€N, on a :
2*U_n = 28 (mod 100),
donc U_n = 14 (mod 50).
Donc U_n finit soit par 14, soit par 50+14 = 64.
De plus, pour tout k€N, U_(2k) = 2 (mod 4) et U_(2k+1) = 0 (mod 4).
Donc si n est pair, U_n finit par 14 et si n est impair, U_n finit par 64.

5) (on peut surement faire beaucoup plus court ^^ mais bon, là ça marche bien..)
Soit n€N.
On note d(n) = pgcd (U_n, U_(n+1)).
U_(n+1) = 5*U_n - 6, donc (U_(n+1))/d(n) = 5(U_n)/d(n) - 6/d(n).
Or (U_(n+1))/d(n) et 5(U_n)/d(n) sont des entiers (car d(n) divise U_(n+1) et U_n), donc 6/d(n) doit aussi être un entier, donc d(n) € {1;2;3;6}.
Si n est pair : U_n finit par 14 et U_(n+1) finit par 64.
2 est donc diviseur commun de U_n et de U_(n+1).
Idem en échangeant les rôles de U_n et U_(n+1) si n impair.
Donc d(n) € {2;6}.

Montrons par récurrence sur n€N la propriété P(n) : 3 ne divise pas U_n.
n = 0 : U_0 = 14 donc 3 ne divise pas U_0.
On suppose maintenant la propriété P(n) vraie (n€N*).
Montrons que P(n+1) est vraie.
U_n différent de 0 (mod 3) par hypothèse de récurrence.
Or U_(n+1) = 5*U_n - 6.
Donc U_(n+1) = 5*U_n (mod 3) (car 6 = 0 (mod 3)).
Si U_n = 1 (mod 3), U_(n+1) = 5 (mod 3) = 2 (mod 3) différent de 0 (mod 3), ça marche.
Si U_n = 2 (mod 3), U_(n+1) = 10 (mod 3) = 1 (mod 3) différent de 0 (mod 3), ça marche aussi.
D'où P(n+1) est vraie.

D'où 3 ne divise pas U_n pour tout n€N.
Donc 3 ne divise pas d(n) pour tout n€N.
Donc pour tout n€N, d(n) = 2.

=)